Petit casse-tête agaçant

Le paradoxe des deux enveloppes

Voici un petit problème de proba un peu déroutant et digne du célèbre problème des 3 portes.

On place une certaine somme d’argent dans une enveloppe et le double dans une autre enveloppe. Vous choisissez une de ces deux enveloppes au hasard et découvrez le montant qu’elle contient.

Vous avez alors le choix : soit vous gardez ce montant, soit vous prenez le montant, inconnu, qu’il y a dans l’autre enveloppe. Quelle est la meilleure stratégie ?

Pour fixer les idées, disons que l’enveloppe que vous avez ouverte contienne 100 euros.

Vous pouvez mener le raisonnement suivant : il y a une chance sur deux que je sois tombé sur la somme la plus petite. Donc il y a une chance sur deux que l’autre enveloppe contienne 200 euros et une chance sur deux qu’elle n’en contienne que 50. Si je choisis de changer d’enveloppe, mon espérance de gain est de 50/2 + 200/2 soit 125 euros. C’est plus que mes 100 euros, et j’ai donc intérêt à changer d’enveloppe.

Mais c’est absurde !

Imaginons que vous tiriez à pile ou face l’enveloppe que vous choisissez :  pile : j’ouvre l’enveloppe de gauche ; face : l’enveloppe de droite. Si le raisonnement précédent est exact, vous changerez systématiquement pour l’autre enveloppe. Donc vous êtes censé augmenter votre espérance de gain en inversant la règle : pile : je prends l’enveloppe de droite ; face : l’enveloppe de gauche.

C’est bien évidemment idiot.

Mais qu’est-ce qui cloche dans le raisonnement précédent ?

Ce qui est amusant c’est que la résolution de ce petit paradoxe ne fait pas l’unanimité et a produit pas mal de littérature.